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“离散和连续,可数无穷和不可数无穷,康托尔的研究在无穷领域中点亮了一丝曙光。”
“从古希腊时代以来一直存在于混沌之中,被人类认为是模糊且不可理解的实无穷因此有了具体的模样。”
“在数学领域中,康托尔的集合论与超穷数理论说是开天辟地也不为过。”
“其中最关键的一点就是,康托尔发现了无穷也是有不同的等级的。”
“既然有了第一个不同于可数无穷的无穷大,那么后面还有没有第二个、第三个甚至是无限多个?”
“康托尔对于直线、平面、立体的研究就是这个思想下的产物。”
李恒靠在那棵光秃秃的枣树下,将手中的一片树叶折叠成立体的形状。
“更多的维度需要更多的坐标进行确定,二维空间中的点应该多于一维直线上的点,因而空间上的点组成的集合应是比不可数集更大的等级。”
“这一点在微积分的计算中表现得很明显,一条无限长的直线与数轴围成的面积可以是一个有限值。”
“将一块面积有限的圆饼分割展开,能够形成一条无限长度的链条。”
“在高维空间中是有限大小的物体,在低维空间中却是无限大的,这似乎就是在说明,高维空间是更大的无穷大。”
“可惜,就像之前说过的那样,康托尔反而证明了维度的数量对于连续空间中的点集大小毫无影响。”
“在无穷大的世界里,人类直观的几何概念显然是毫无作用的。”
“为了寻找更大的基数,康托尔以集合论为基础重新出发,从每一个集合与自身子集之间的关系入手。”
一个集合{1,2,3}包含三个元素。
这个集合的非空子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共有7个。
最后再加上空集?,总共有2^3个子集。
类似的,可以证明对包含n个元素的集合,其子集的数量是2^n个。
这一点对于空集也是成立的。
空集中的元素为0,但空集也是自身的子集,因此空集的所有子集数量为1,也就是非空集合{?}。
这种方法正是后来以集合论为基础生成自然数的方法。
?,{?},{?,{?}}…这组序列就代表了自然数0,1,2…。
利用空集作为一切的基础,生成整个自然数序列。
“事实上,2这个数字在这里有更丰富的意义。”
“为什么是2,而不是3或者10?”
“本质上2这个数字代表了一种二元选择——也就是判定是或否。”
“从一个集合包含的元素来构造其全体子集的过程,实际上就是一连串的判定过程。”
“集合中的每一个元素都只有两种可能,属于这个集合,或者不属于这个集合,没有其他情况。”
“3个元素,每一个元素都有是、否两种可能,总共就是8种可能性。”
“通过判定集合中的每一个元素是否属于这个集合,可以构造出一个新的集合。”
“这个新集合包含的元素是原集合的全体子集,它被称为幂集。”
“新的幂集显然大于原来的集合,康托尔证明了即使集合是无穷的,它的幂集的基数也总是大于它。”
“这就是幂集公理。”
“利用幂集公理,就能构造出一个新的更大的无穷集合,也就是2^?0=?1”
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